2015年萍乡学院专升本高等数学考试大纲
文章来源：润知林 文章作者：润知林教务处
时间：2015/8/28 17:46:08 浏览：1925次
萍乡学院专升本考试
《高等数学》考试大纲
一、考试内容及分数分布
第一章 极限（约15%）
考试内容：
函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数、复合函数和隐函数。基本初等函数的性质及其图形；数列极限与函数极限的定义、性质，函数的左、右极限；无穷小无穷大及无穷小的比较；极限的四则运算，极限存在的两个准则，单调有界准则和夹逼准及两个重要极限。
函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理）。
考试要求
1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形。
5．会建立简单应用问题中的函数关系式。
6．理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
7．掌握极限的性质及四则运算法则。
8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9．理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
10．理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
11．了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
第二章 一元函数微分学（约20%）
考试内容
导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义。函数的可导性与连续性之间的关系。平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，反函数、复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。
导数的应用：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西(CAUCHY)中值定理、泰勒定理；洛必达法则；函数的极值及其求法，函数增减性和函数图形的凹凸性的判定。函数最大值和最小值的求法。
考试要求
1．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性。
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。
4．会求分段函数的一阶、二阶导数。
5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。
7．了解并会用柯西中值定理。
8．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
第三章 一元函数积分学（约20%）
考试内容
原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式、定积分的概念和性质、定积分中值定理、变上限定积分及其导数牛顿一莱布尼茨公式、不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法、简单有理函数、三角函数的有理式和简单元理函数的积分、广义积分的概念及其计算，定积分的应用。
考试要求
1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念，理解定积分中值定理。
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及换元积分法与分部积分法。
3．会求简单有理函数、三角函数有理式及简单元理函数的积分。
4．理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。
5．了解广义积分的概念并会计算广义积分。
6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）。
第四章 二元函数微分学（约15%）
考试内容
空间解析几何：向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，两向量垂直和平行的条件、两向量的夹角、向量的坐标表达式及其运算单位、向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程及其求法 平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角点到平面和点到直线的距离，球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形。
多元函数微分学：多元函数的概念、极限、连续；复合函数、隐函数的求导法、二阶偏导数；多元函数极值和条件极值的概念、二元函数极值的充分条件、极值的求法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
考试要求
1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件。
3．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
4．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
5．理解多元函数的概念。
6．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。
7．理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。
8．掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法、隐函数的偏导数。
9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。
第五章 多元函数积分学（约10%）
考试内容
二重积分的计算和应用，二重积分的性质
考试要求
1．理解二重积分概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
2．掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。
3．会用重积分，求一些几何量与物理量。
第六章 无穷级数（约10%）
考试内容
常数项级数的收敛与发散的概念、级数的基本性质、正项级数的比较审敛法 比值审敛法、根值审敛法；交错级数的莱布尼茨定理；绝对收敛与条件收敛；函数项级数的收敛域与和函数的概念、幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间）、幂级数在其收敛区间内的基本性质、简单幂级数的和函数的求法、初等函数的泰勒展式、麦克劳林（Maclaurin）展式。
考试要求
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。
3．会用交错级数的莱布尼茨定理。
4．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
5. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
6．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区问内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
7．掌握一些函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
第七章 常微分方程（约10%）
考试内容
常微分方程的基本概念、微分方程的解、通解、初始条件和特解，变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、线性微分方程解的性质及解的结构定理、二阶常系数齐次线性微分方程、简单的二阶常系数非齐次线性微分方程、微分方程的简单应用问题。
考试要求
1．了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法及齐次方程解法。
3．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
5．会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、教材：《高等数学》（上），高等教育出版社，刘鹏林主编；
参考书：《高等数学》（第六版），高等教育出版社，同济大学编。
三、考试题型及比例
填空题：20%；
选择题：20％；
解答题（包括证明题）：60％。
萍乡学院数学系
2015年4月2日