2012年《高等数学B》考试大纲

文章来源：润知林    文章作者：润知林教务处   时间：2015/1/18 15:58:08    浏览：2122次

《高等数学B》考试大纲

考生应按本大纲的要求，了解或理解“经济数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、微分方程、多元函数微积分及经济类函数的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

复习考试内容

<!--[if !supportLists]-->一、<!--[endif]-->函数、极限和连续

（一）函数

1．知识范围

（1）函数的概念          函数的定义,函数的表示法,分段函数,隐函数.

（2）函数的性质          单调性,奇偶性,有界性,周期性.

（3）反函数              反函数的定义,反函数的图像

（4）基本初等函数        幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数.

（5）函数的四则运算与复合运算

（6）初等函数

（7）常用经济函数

2．要求

（1）理解函数的概念。会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。

（2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

（3）了解函数 <!--[if !vml]--><!--[endif]--> 与其反函数 <!--[if !vml]--><!--[endif]-->之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。

（4）熟练掌握函数的四则运算与复合运算。

（5）掌握基本初等函数的性质及其图像。

（6）了解初等函数的概念。

（7）会建立简单实际问题的函数关系式（需求函数、供给函数、成本函数、收益函数和利润函数）。

（二）极限

1．知识范围

（1）数列极限的概念   数列,数列极限的定义

（2）数列极限的性质   唯一性,有界性,四则运算法则,夹逼定理,单调有界数列极限存在定理.

（3）函数极限的概念   函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,趋于无穷时函数的极限,函数极限的几何意义

（4）函数极限的性质     唯一性,四则运算法则,夹逼定理.

（5）无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义,无穷小量与无穷大量的关系,无穷小量的性质，无穷小量的阶.

（6）两个重要极限

2．要求

（1）理解极限的概念.会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。

（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

（三）连续

1．知识范围

（1）函数连续的概念            函数在一点处连续的定义,左连续与右连续,函数在一点处连续的充分必要条件,函数的间断点及其分类.

（2）函数在一点处连续的性质    连续函数的四则运算,复合函数的连续性,反函数的连续性

（3）闭区间上连续函数的性质    有界性定理,最大值与最小值定理,介值定理（包括零点定理）.

（4）初等函数的连续性

2．要求

（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处的连续性的方法。

（2）会求函数的间断点及确定其类型。

（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单命题。

（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。

二、一元函数微分学

（一）导数与微分

1．知识范围

（1）导数概念    导数的定义,左导数与右导数,函数在一点处可导的充分必要条件.

导数的几何意义与物理意义,可导与连续的关系.

（2）求导法则与导数的基本公式     导数的四则运算,反函数的导数,导数的基本公式.

（3）求导方法  复合函数的求导法,隐函数的求导法,对数求导法,由参数方程确定的函数的求导法,求分段函数的导数.

（4）高阶导数   高阶导数的定义,高阶导数的简单计算.

（5）微分       微分的定义,微分与导数的关系,微分法则，一阶微分形式不变性.

2．要求

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法。

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。

（4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。

（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的 <!--[if !vml]--><!--[endif]-->阶导数。

（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

（二）微分中值定理及导数的应用

1．知识范围

（1）微分中值定理   罗尔(Rolle）定理,拉格朗日（Lagrange）中值定理.

（2）洛必达（L’Hospital）法则

（3）函数增减性的判定法

（4）函数的极值与极值点 最大值与最小值

（5）曲线的凹凸性、拐点

（6）曲线的水平渐近线与铅直渐近线

（7）导数在经济上的应用

2．要求

（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。

（2）熟练掌握用洛必达法则求未定式的极限的方法。

（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式。

（4）理解函数极值的概念。掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用问题。

（5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

（6）会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。

（7）会作出简单函数的图形。

（8）会作边际分析和弹性分析。

三、一元函数积分学

（一）不定积分

1．知识范围

（1）不定积分     原函数与不定积分的定义,原函数存在定理,不定积分的性质.

（2）基本积分公式

（3）换元积分法   第一换元法（凑微分法）,第二换元法

（4）分部积分法

（5）一些简单有理函数的积分

2．要求

（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。

（2）熟练掌握不定积分的基本公式。

（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。

（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。

（5）会求简单有理函数的不定积分。

（二）定积分

1．知识范围

（1）定积分的概念    定积分的定义及其几何意义,可积条件

（2）定积分的性质

（3）定积分的计算   变上限积分 牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式  换元积分法  分部积分法

（4）无穷区间的广义积分

（5）定积分的应用   平面图形的面积,旋转体体积,物体沿直线运动时变力所作的功.

2．要求

（1）理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件。

（2）掌握定积分的基本性质。

（3）理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

（4）熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

（6）理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。

（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。会用定积分解决一些简单的经济问题。

四、常微分方程

1.知识范围

<!--[if !supportLists]-->（1）   <!--[endif]-->微分方程的基本概念

<!--[if !supportLists]-->（2）   <!--[endif]-->一阶微分方程

<!--[if !supportLists]-->（3）   <!--[endif]-->可降阶的高阶微分方程

<!--[if !supportLists]-->（4）   <!--[endif]-->二阶线性微分方程

2．要求

<!--[if !supportLists]-->（1）   <!--[endif]-->理解微分方程的基本概念和有关术语。

<!--[if !supportLists]-->（2）   <!--[endif]-->掌握可分离变量方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程解法。

<!--[if !supportLists]-->（3）   <!--[endif]-->会解可降阶的高阶微分方程。

<!--[if !supportLists]-->（4）   <!--[endif]-->掌握二阶线性微分方程的解法。

考试内容：空间解析几何的相关知识，多元函数、二元函数极限与连续的概念、偏导数、全微分、全导数的基本概念及全微分存在的必要条件和充分条件、多元复合函数的求导法则、隐函数的导数、多元函数的极值与最值。

五、多元函数微分学

1、知识范围：

（1）平面解析几何：平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程。空间直线的一般式方程、点向式方程、参数式方程。空间曲线的参数方程和一般方程。判定两平面的垂直、平行，会判定两直线平行、垂直。球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。

（2）多元函数的概念、二元函数的极限；

（3）多元函数偏导数和全微分的概念，全微分的计算

（4）多元函数极值和条件极值的概念，求函数的极值，二元函数极值存在的必要条件及二元函数极值存在的充分条件，拉格朗日乘数法

2、要求：

（1）会求平面的方程

（2）会求二元函数的极限

（3）会求二元函数的偏导数

（4）掌握拉格朗日乘数法

六、二重积分

1、知识范围：

（1）二重积分的概念与性质

（2）二重积分的计算法

（3）二重积分的应用。

2、要求：

（1）了解二重积分的概念，二重积分的性质、二重积分的中值定理；

（2）掌握二重积分计算的直角坐标法和极坐标法；

（3）会

 

考试形式及试卷结构

试卷总分：100分  考试时间：120分   考试方式：闭卷，笔试

 试卷内容比例：

函数、极限和连续   约15% 

一元函数微分学     约20%

一元函数积分学     约25%

微分方程           约10% 

多元函数微积分学   约30% 

试卷题型比例：选择题 约15%   填空题 约25%  解答题及证明题 约60